Статическая краевая задача и ее решения

Дуйшеналиев Т.Б.

Национальный исследовательский университет «МЭИ», Москва

Ключевые слова: упругое тело, краевая задача, напряжение, конечные деформации, обобщенный закон Гука, перемещение, формулы Чезаро, пластина.

Аннотация. Известно, что статическая краевая задача имеет две постановки. Первая выдвигается при формулировании, а вторая – при решении. Эти постановки не идентичны, ибо в первой из них речь идет о равновесии, а во второй – о движении. В механике деформируемого тела это различие игнорируется, в ней принимается, что задачи обеих постановок имеют одно и то же решение. Тем не менее, оказалось, что общепринятый подход к решению такой задачи не соответствует ее постановке и нередко является источником противоречий и осложнений. Более того, в трехмерной постановке, краевая задача в таком подходе вообще не решаема. Она математически не определена и механически некорректна. И с таким положением вещей сегодня все вынуждены мириться. Выдвигается новый неклассический подход, который строго соответствует общепринятой постановке краевой задачи и ее сути. Областью определения уравнений равновесия и совместности деформаций, а также граничных условий служит конечное состояние. Это состояние равновесия считается заданным, а не искомым. Иначе невозможно математически корректно указать положения сил, распределенных в объеме и на поверхности тела. Перемещения, определяемые по формулам Чезаро, представляют те перемещения, которые приводят тело в область конечного (деформированного) состояния. По ним находятся координаты точек начального состояния тела, и строится его конфигурация.

Static boundary value problem and its solutions

Duishenaliev T.B.

National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Moscow

Keywords: elastic body, boundary value problem, stress, finite deformations, generalized Hooke's law, displacement, Cesaro formulas, plate.

Abstract. It is known that the static boundary value problem has two formulations. The first is put forward when formulating, and the second is put forward when solving. These statements are not identical, they are even diametrically opposed, because in the first of them we are talking about balance, and in the second about movement. In the mechanics of a deformable body, this difference is ignored, it is tacitly accepted that the problems of both formulations have the same solution. Nevertheless, it turned out that the generally accepted approach to solving such a problem does not correspond to its formulation and is a source of contradictions and complications. Moreover, in a three-dimensional formulation, the boundary value problem in this approach is not solvable at all. It is mathematically undefined and mechanically incorrect. We have to put up with this state of affairs today. A new non-classical approach is put forward, which strictly corresponds to the generally accepted formulation of the boundary value problem and its essence. Deformation measures are of great importance for the mechanics of a deformable body. But so far there is not a single solution using nonlinear strain tensors. The field of so-called finite deformations is still closed to rigorous analytical studies. The field of determining the equations of equilibrium and compatibility of deformations, as well as boundary conditions, is the final state. This state of equilibrium is considered to be set, not sought. Otherwise, it is impossible to mathematically correctly indicate the positions of forces distributed in the volume and on the surface of the body. The displacements determined by Cesaro's formulas represent those displacements that bring the body to the region of the final (deformed) state. According to them, the coordinates of the points of the initial state of the body are found, and its configuration is built.