Температурная деформация тонкой упругой пластины

Хоа Ван Донг

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва

Во Ань Хиеу

Академия военных наук и технологий, Ханой, Вьетнам

Ключевые слова: принцип сжатых отображений, теорема о неподвижной точке, упругость, пластина, полное решение, метод Сен-Венана–Пикара–Банаха, граничные условия, краевой эффект.

Аннотация. На уравненииях теории упругости итерационно-асимптотическим методом получено аналитическое решение для прямоугольной полосы при действии термоменахничекой нагрузки. Сведение задачи от трехмерной к постановке с новыми неизвестными – функциями двух координат, – выполнено путем интегрирования по координате толщины. Построенный при этом итерационный процесс позволяет находить методом последовательных приближений выражения (в интегро-дифференциальной форме) для искомых величин исходной задачи как функции новых основных неизвестных, причем начальным приближением являются сами новые неизвестные. Преобразование уравнений, полученных на первом цикле интегрирования, выполнено в предположении существования комопнент решения, обладающих различными асимптотиками – основного напряженного состояния (медленно изменяющегося сообразно форме приложенной нагрузки) и быстро изменяющегося (типа краевого эффекта). Малый параметр, по которому выполнено преобразование – параметр тонкостенности. Для случая термомеханического нагружения получены разрешающие соотношения для новых неизвестных; вид оператора уравнения для медленно меняющейся неизвестной, отвечающей функции прогибов в теории пластин, соотетствует классическому. В конечной аналитической форме найдено решение для случая нагружения температурным полем. Характерной чертой примененного метода является свобода решения от ограничений начального задания его формы.

Temperature deformation of a thin elastic plate

Hoa Van Dong

Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow

Vo Anh Hieu

Academy of Military Science and Technology, Hanoi, Vietnam

Keywords: principle of compressed mappings, fixed point theorem, elasticity, plate, complete solution, Saint-Venant–Picard–Banach method, boundary conditions, edge effect.

Abstract. An analytical solution for a rectangular strip under the action of a thermomechanical load is obtained using the equations of the theory of elasticity by an iterative-asymptotic method. The reduction of the problem from a three–dimensional one to a formulation with new unknowns – functions of two coordinates - is performed by integrating along the thickness coordinate. The iterative process constructed in this case allows us to find expressions (in integro-differential form) by successive approximations for the desired quantities of the initial problem as a function of new basic unknowns, and the initial approximation is the new unknowns themselves. The transformation of the equations obtained in the first integration cycle is carried out under the assumption of the existence of solution components with different asymptotics – the basic stress state (slowly changing according to the shape of the applied load) and rapidly changing (type of edge effect). The small parameter for which the conversion is performed is the thinness parameter. For the case of thermomechanical loading, the resolving relations for new unknowns are obtained; The form of the equation operator for a slowly changing unknown corresponding to the deflection function in plate theory corresponds to the classical one. A solution has been found in the final analytical form for the case of temperature field loading. A characteristic feature of the applied method is the freedom of the solution from the limitations of the initial task of its form.