Приближенное аналитическое решение динамических уравнений движения тела с вязкой жидкостью

Алексеев А.В., Луценко Е.А.

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, Самара

Ключевые слова: кинетический момент, динамическая асимметрия, вязкая жидкость, уравнения движения, метод Ван-дер-Поля.

Аннотация. Рассматривается движение относительно центра масс или около неподвижной точки свободного твердого тела, имеющего малую динамическую асимметрию, со сферической полостью, заполненной жидкостью большой вязкости. Приводится математическая модель движения системы с описанием входящих в нее параметров. Большая вязкость жидкости в полости и малая асимметрия тела характеризуются малым параметром. Для преобразованных дифференциальных уравнений движения после замены переменных строится приближенное аналитическое решение асимптотическим методом Ван-дер-Поля. Производится сравнение полученных решений с аналогичными, полученными ранее, и с численным, а также осуществляется оценка и анализ погрешности. Делается вывод о том, что точность метода Ван-дер-Поля на небольших интервалах времени ниже, чем точность метода Пуанкаре. Однако решение методом Ван-дер-Поля точнее показывает амплитуду колебаний, а также сами аналитические зависимости гораздо лучше поддаются анализу.

Approximate analytical solution of dynamic equations of motion of a body with viscous liquid

Alekseev A.V., Lutsenko E.A.

Samara National Research University, Samara

Keywords: kinetic moment, dynamic asymmetry, small parameter, analytical solution, Van-der-Pol’s method.

Abstract. The motion with respect to the centre of mass or about a fixed point of a free solid body having a small dynamic asymmetry with a spherical cavity filled with a fluid of high viscosity is considered. A mathematical model of the motion of the system with a description of its constituent parameters is given. The large viscosity of the fluid in the cavity and the small asymmetry of the body are characterised by a small parameter. For the transformed differential equations of motion after replacement of variables, an approximate analytical solution is constructed by the asymptotic Van-der-Pol method. The obtained solutions are compared with similar solutions obtained earlier and with the numerical one, and the error is evaluated and analysed. It is concluded that the accuracy of the Van-der-Pol method at small time intervals is lower than that of the Poincaré method. However, the solution of the Van-der-Pol method more accurately shows the amplitude of oscillations, as well as the analytical dependencies themselves are much better analysed.