О методе аналитического решения отдельного класса дифференциальных уравнений поперечных колебаний стержней

Ивановская А.В.

Керченский государственный морской технологический университет, Керчь

Ключевые слова: переменность нагружения, стержень, дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, интегрирование в квадратурах, собственные частоты, формы колебаний.

Аннотация. В современных условиях важной является задача создания отечественного конкурентоспособного оборудования, к которому предъявляются требования по импортозамещенности, надежности, автоматизации, простоте производства и эксплуатации. Проектирование таких машин должно базироваться на математических моделях, наиболее полно учитывающих особенности их работы. Отдельный интерес вызывает рыбопромысловое судно и его оборудование. При работе рыбопромыслового оборудования сложные динамические нагрузки возникают не только при пусках и торможениях, но и в период установившегося режима. Это обусловлено влиянием внешних гидрометеорологических факторов, а также переменностью нагружения (масса, размеры, форма, сопротивление и т.д. буксируемого объекта). Поэтому зачастую математические модели, описывающие динамику работы таких механических систем, представляют собой дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Для поиска их качественных характеристик необходимо аналитическое решение получаемых уравнений. В случае, если математическая модель представлена уравнением в частных производных, то это приводит к интегрированию дифференциальных уравнений 4 порядка. В работе представлена методика аналитического решения дифференциальных уравнений 4 порядка с переменными коэффициентами. В качестве примера рассмотрена задача о поперечных колебаниях брашпиля, представленного в виде стержня с переменными жесткостью, диаметром сечения и массой. Пользуясь полученной методикой, получены аналитические зависимости для определения двух первых собственных частот колебаний.

On the method of analytical solution of a separate class of differential equations of transverse vibrations of rods

Ivanovskaya A.V.

Kerch State Maritime Technological University, Kerch

Keywords: load variability, rod, differential equations with variable coefficients, integration in quadratures, natural frequencies, waveforms.

Abstract. In modern conditions, it is important to create indigenous competitive equipment, which is required for import substitution, reliability, automation, ease of production and operation. The design of such machines should be based on mathematical models that take into account the most appropriate features of their work. The fishing vessel and its equipment are of particular interest. Regarding to the fishing equipment, complex dynamic loads occur not only at starts and braking, but also during the established regime. They are caused by the influence of external hydrometeorological factors, as well as the variability of the load (mass, size, shape, resistance, etc. of the towed object). Therefore, often mathematical models describing the dynamics of such mechanical systems are differential equations with variable coefficients. To find their qualitative characteristics, an analytical solution of the resulting equations is necessary. In the case that the mathematical model is represented by the partial derivative equation, this leads to the integration of differential equations of order 4. The article presents a method of solution of differential equations of order 4 with variable coefficients. As an example, the problem of transverse vibrations of a windlass presented in the form of a rod with variable stiffness, cross-section diameter and mass is considered. Using the obtained technique, analytical dependences are obtained to determine the first two natural frequencies of vibrations.