Аппроксимация коэффициентов опор стержня при крутильных и продольных колебаниях с учетом жесткости опор

Кудрявцев И.В., Малыхина Л.К., Кудрявцева Ю.М., Швец Д.А.

Сибирский федеральный университет, Красноярск

Рабецкая О.И.

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева, Красноярск

Ключевые слова: стержень, крутильные колебания, продольные колебания, жесткость опор, аппроксимация.

Аннотация. В работе проведено исследование первой собственной частоты крутильных и продольных свободных колебаний двухопорного стержня при различной жесткости опор. Задача в этих случаях сводится к вычислению собственных значений некоторого частотного трансцендентного уравнения, полученного в процессе решения соответствующего дифференциального уравнения колебаний при заданных граничных условиях. Решение трансцендентного уравнения не имеет аналитического решения и выполняется различными численными методами, что затрудняет использовать такой подход в инженерных расчетах. Обзор литературы показал, что в теории колебаний данная проблема решается справочными изданиями, в которых приведены решения задач на собственные значения, называемых коэффициентами опор, для крутильных и продольных свободных колебаний стержня при различных способах закрепления. Однако рассмотренные там случаи закрепления ограничены только простыми видами опор, а упругие опоры представлены для очень ограниченного числа вариантов их жесткостей. Кроме того, зачастую эти значения представлены в виде графиков, которые не позволяют точно установить искомое значение коэффициента опор. Для решения этой проблемы в данной работе выполнен расчет коэффициентов опор для первой собственной частоты крутильных и продольных колебаниях в зависимости от жесткости опор стержня. Решение частотного трансцендентного уравнения выполнялось численным итерационным методом, для которого была создана программа на ЭВМ. В результате был получен массив значений коэффициентов опор, которые были аппроксимированы квадратичными функциями. Для снижения погрешности аппроксимации нелинейной зависимости коэффициента опор, рассматриваемая область жесткостей опор была разделена на три зоны. Квадратичная аппроксимация позволила получить простые аналитические зависимости, пригодные для инженерных прикладных расчетов как прямой задачи по определению коэффициента опор для заданной жесткости опор, так и обратную, по определению требуемой жесткости опор для заданного значения первой собственной частоты колебаний. Исследование погрешности аппроксимации показало, что отклонения не превышают 5% во всем рассматриваемом диапазоне жесткостей, если жесткости опор стержня одного порядка. Полученные результаты можно использовать в инженерных прикладных расчетах собственных частот крутильных и продольных колебаний балок с упругими опорами.

Approximation of beam support coefficients of shafts in torsion vibrations considering stiffness of supports

Kudryavtsev I.V., Malykhina L.K., Kudryavtseva Yu.M., Shvets D.A.

Siberian Federal University, Krasnoyarsk

Rabetskaya O.I.

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology, Krasnoyarsk

Keywords: rod, torsional vibration, longitudinal vibration, stiffness of supports, approximation.

Abstract. Study of first natural frequency of torsional and longitudinal free vibrations of double-bearing rod for specified rigidity of supports is carried out. The problem in these cases come down to calculating the eigen values of some frequency transcendental equation obtained in the process of solving the corresponding differential equation of vibrations under given boundary conditions. The solution to the transcendental equation has no analytic solution and is performed by various numerical methods, making it difficult to use this approach in engineering calculations A review of the literature has shown that in the theory of vibrations, this problem is solved by reference publications that provide solutions to problems with eigenvalues, called support coefficients, for torsional and longitudinal free vibrations of the rod in various methods of fixation. However, the fastening cases discussed there are limited only by simple types of supports, and elastic supports are presented for a very limited number of options for their stiffness. In addition, often these values are presented in the form of graphs that do not allow you to accurately determine the desired value of the support coefficient. To solve this problem, in this work, an extended calculation of the support coefficients for the first natural frequency of torsional and longitudinal vibrations depending on the rigidity of the rod supports is made. The solution of the frequency transcendental equation was carried out by a numerical iteration method, for which a computer program was created. As a result, an array of values of support coefficients was obtained, which were approximated by quadratic functions. To reduce the error of approximation of the nonlinear dependence of the support coefficient, the considered area of the supports stiffness was divided into three zones. The quadratic approximation made it possible to obtain simple analytical dependencies suitable for engineering applied calculations, both a direct problem for determining the coefficient of supports for a given stiffness of supports, and the opposite, for determining the required stiffness of supports for a given value of the first natural frequency of vibrations. The study of the approximation error showed that the deviations do not exceed 5% in the entire considered stiffness range if the stiffness of the rod supports is of the same order. The obtained results can be used in engineering applied calculations of natural frequencies of vibrations of beams with elastic supports.