Аппроксимация коэффициентов опор балки при поперечных колебаниях с учетом линейной жесткости опор

Кудрявцев И.В., Малыхина Л.К., Швец Д.А., Митяев А.Е.

Сибирский федеральный университет, Красноярск

Рабецкая О.И.

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева, Красноярск

Ключевые слова: балка, колебания, коэффициент опор, жесткость, аппроксимация.

Аннотация. В данной работе исследованы поперечные свободные колебания двухопорной балки с учетом влияния линейной жесткости опор. Обзор литературы показал, что в теории колебаний балок учет условий закрепления основан на использовании коэффициентов опор, значения которых основаны на собственных значениях некоторой системы, полученной в процессе решения соответствующего дифференциального уравнения колебаний. Рассматривалось решение для первой и второй собственной частоты колебаний. Установлено, что в существующей справочной литературе содержится весьма ограниченный набор значений коэффициентов опор, а учет жесткости опор можно найти только в отдельных изданиях и для ограниченного числа вариантов значений жесткостей, обычно в графическом виде. В данной работе выполнен расширенный расчет коэффициентов опор в зависимости от линейной жесткости опор балки для первой и второй собственных частот колебаний. Найденные значения коэффициентов опор были аппроксимированы квадратичными функциями, для снижения погрешности аппроксимации рассматриваемая область жесткостей опор была разделена на три зоны. Квадратичная аппроксимация позволила получить простые аналитические зависимости, пригодные для инженерных прикладных расчетов, а также решать обратную задачу по определению жесткостей опор для заданного значения первой или второй собственной частоты колебаний. Исследование погрешности аппроксимации показало, отклонения не превышают 3,5% если опоры балки имеют жесткость одного порядка. Исследование формы поперечных колебаний балки показало, что на первой частоте форма является симметричной относительно геометрического центра балки, а на второй частоте – антисимметричной. Также установлено, что балка колеблется как жесткое целое, если ее изгибная жесткость сопоставима или больше чем жесткость опор. В противном случае, когда жесткость опор превосходит жесткость балки более чем на порядок, то в процессе колебаний балка испытывает изгиб. Полученные результаты можно использовать в инженерных прикладных расчетах собственных частот колебаний балок с упругими опорами.

Approximation of beam support coefficients at transverse vibrations considering linear stiffness of supports

Kudryavtsev I.V., Malykhina L.K., Shvets D.A., Mityaev A.E.

Siberian Federal University, Krasnoyarsk

Rabetskaya O.I.

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology, Krasnoyarsk

Keywords: beam, vibration, support coefficient, stiffness, approximation.

Abstract. In this work, the transverse free vibrations of the double-support beam were investigated, considering the influence of the linear supports stiffness. Our literature review showed that in the theory of beam vibrations, consideration of fixing conditions is based on the use of support coefficients, the values of which are determined by the eigenvalues of a certain system obtained in the process of solving the corresponding differential equation of vibrations. The solution for the first and second eigenfrequency of vibrations was considered. It has been found that the existing reference literature contains a very limited set of support coefficient values, and consideration of support stiffness can only be found in individual editions and for a limited number of options for stiffness values, usually graphically. In this paper, extended calculation of the support coefficients depending on the linear stiffness of the beam supports for the first and second eigenfrequency is made. The found values of the support coefficients were approximated by quadratic functions; to reduce the approximation error, the area of support stiffness in question was divided into three zones. The quadratic approximation made it possible to obtain simple analytical dependencies suitable for engineering applied calculations, as well as to solve the inverse problem of determining the support's stiffness for a given value of the first or second eigenfrequency. The study of approximation error showed that deviations do not exceed 3.5% if the beam supports have stiffness of the same order. The study of the beam shape at the transverse vibrations showed that at the first frequency the shape is symmetrical regarding the geometric centre of the beam, and at the second frequency it is antisymmetric. It has also been found that the beam vibrates as a rigid whole if its bending stiffness is comparable or greater than the stiffness of the supports. Otherwise, when the stiffness of the supports exceeds the stiffness of the beam by more than an order of magnitude, the beam is bent during vibrations. The obtained results can be used in engineering applied calculations of natural frequencies of the beam vibrations with elastic supports.