Об учете радиальной неоднородности при решении краевых задач для полых круговых цилиндров

Казаков К.Е.

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук, Москва

Ключевые слова: краевая задача, ОДУ, неоднородность, полый круговой цилиндр, специальные функции, уравнение Уиттекера.

Аннотация. В работе рассмотрена краевая задача для бесконечного радиально неоднородного полого кругового цилиндра. Показано, что в общем случае математической моделью такой задачи является однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами и двумя граничными условиями. Отмечено, что построение аналитического решения полученного дифференциального уравнения возможно только при определенных видах и соотношениях между коэффициентами. Приведены решения для нескольких таких соотношений. На примере случая, когда коэффициент Пуассона постоянен, а модуль Юнга меняется по экспоненциальному закону, показан процесс построения аналитического решения. Отмечено, что полученное решение позволяет проводить вычисления как с возрастающим вдоль радиальной координаты, так и с убывающим модулем Юнга.

On the consideration of radial inhomogeneity in solving boundary value problems for hollow circular cylinders

Kazakov K.E.

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences, Moscow

Keywords: boundary value problem, ODE, inhomogeneity, hollow circular cylinder, special functions, Whittaker equation.

Abstract. The paper considers a boundary value problem for an infinite radially inhomogeneous hollow circular cylinder. It is shown that in the general case, the mathematical model of such a problem is a homogeneous ordinary differential equation of the second order with variable coefficients and two boundary conditions. It is noted that the construction of an analytical solution of the resulting differential equation is possible only with certain types and ratios between the coefficients. Solutions for several such relations are given. Using the example of the case when the Poisson's ratio is constant and the Young's modulus varies exponentially, the process of constructing an analytical solution is shown. It is noted that the obtained solution allows calculations to be carried out both with increasing along the radial coordinate and with decreasing Young's modulus.